E aí! Já treinou bastante os outros conteúdos do blog? Já sabe desenvolver fatoriais, permutações e arranjos, e agora está fera. Quer aprender mais ainda?

Então vamos aprender mais um conteúdo legal de análise combinatória.
Caso surgir alguma dúvida navegue pela aba

• Análise combinatória ►

Combinação simples.

Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados p a p aos subconjuntos formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados.

É importante observar que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.

Representando por C_n,p o número total de combinações de n elementos tomados p a p , temos a seguinte fórmula:

“Combinação simples de n elementos tomados p a p ( ) são subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados”.

Vamos relembrar alguns conceitos de arranjos.

Vamos passear um pouco por arranjos, e depois vamos seguir no mesmo exemplo trabalhando com combinação.

Vejamos um exemplo clássico.

1) Vamos considerar o conjunto A = {1,2,3,4,5}

Agora vamos formar todos os arranjos possíveis de 2 elementos distintos do conjunto A.

(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5)

(2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (3,2) (4,2) (5,2) (4,3) (5,3) (5,4)

Porque (1,2) ≠ (2,1) ; (1,3) ≠ (3,1) , etc.

Note que usamos ( ) para denotar arranjos, pois são pares ordenados, o que implica em elementos distintos em cada agrupamento.

A simples mudança de ordem gera um novo par ordenado.

Então, utilizando a fórmula geral para arranjos simples. Onde

n= 5 (número total de elementos do conjunto A)

p= 2 (número de elementos tomados p a p – tomamos 2 elementos de cada vez para fazer os agrupamentos)

Observe que trabalhamos com 2 elementos tomados p a p, do conjunto com o total de n=5 elementos. Ou seja, fizemos arranjos de 2 a 2 com os 5 números do conjunto A.

Mas, e se quisermos saber, quantos subconjuntos de 2 elementos, podem ser formados por estes arranjos. Como proceder? Agora a conversa muda um pouco! Vamos ver como fica.

Os subconjuntos de 2 elementos que podemos formar são:

{1,2}, {1,3}, {1,4} ,{1,5} ,{2,3} ,{2,4} ,{2,5} ,{3,4}, {3,5}, {4,5}

Desta forma temos:
, porque {1,2}={2,1} ; {1,3} = {3,1} , etc.

Note que usamos {} para denotar combinações, pois são subconjuntos, e a ordem dos elementos num subconjunto não se altera.

E com 3 elementos como fica? O número de arranjos será:

Temos:

E o número de subconjuntos será:

Já deu para perceber que:

Vamos ver agora alguns exemplos mais elaborados.

Exercícios resolvidos de combinações simples.

1) Uma prova consta de 6 questões, das quais o aluno deve resolver 3. De quantas formas ele poderá escolher as 3 questões?

Quer-se agrupar 3 elementos, dentre os 6 existentes.

Perceba que a ordem em que os elementos aparecerão não será importante, uma vez que, ao resolver a 1ª , a 2ª e a 3ª questão é o mesmo que resolver a 2ª , a 3º e a 1ª, portanto é um problema de combinação.

Logo, um aluno pode escolher suas 3 questões de 20 maneiras diferentes.

Observe que, se quiséssemos apenas fazer os arranjos destes elementos 3 a 3, teríamos:

Faça você os arranjos, e depois verifique como foi feito nos exemplos anteriores, que esta afirmação é verdadeira.

2) De quantos modos distintos Amiroaldo pode escolher quatro entre as nove camisetas regata que possui para levar em uma viagem para Mosqueiro.

Suponha que Amiroaldo escolha as camisas 1, 2, 3 e 4.

Amiroaldo escolhendo as camisas:

Fonte camisa: http://www.portalimpacto.com.br/

Veja que (1, 2, 3, 4) = (1, 3, 4, 2), pois não importa em que ordem Amiroaldo escolhe as camisas que vai levar, o importante é que as camisas escolhidas são as mesmas na primeira e na segunda situação. Problemas como esses são resolvidos com a idéia de Combinação simples.

Existem 126 maneiras diferentes para Amiroaldo escolher 4 camisetas das 9 que possui.

Se fosse calculado o número de arranjos destas camisetas tomadas 4 a 4, teríamos 3024 arranjos.

Faça você os arranjos, e depois verifique como foi feito nos exemplos anteriores, que esta afirmação é verdadeira. (Brincadeira! Para você verificar a veracidade desta afirmação, vou dar uma dica de um software legal para você conferir as respostas dos exercícios propostos - Baixar software -:).

É só baixar e descompactar em uma pasta de sua preferência.
Observação:

- Após terminar seus downloads, passe um antivírus antes de abrir seu arquivo.

- Crie um ponto de restauração no Windows, antes de instalar qualquer programa,ou arquivo .

3) Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma apresentação. Quais e quantas são as possibilidades?

Representamos cada pessoa por uma letra

A: Ane;

E: Elisa;

R: Rosana;

F: Felipe;

G: Gustavo.

Precisamos determinar todos os subconjuntos de 2 elementos do conjunto de 5 elementos {A,E,R,F,G}. A ordem em que os elementos aparecem nos subconjuntos não importa, pois Ane-Elisa, por exemplo, é a mesma dupla que Elisa-Ane.

Então, os subconjuntos de 2 elementos são?

{A,E},{A,R},{A,F},{A,G},{E,R}{E,F},{E,G},{R,F},{R,G}{F,G}.

Chamamos estes subconjuntos de combinação simples de 5 elementos tomados com 2 a 2. Escrevemos C_5,2 .

Onde C_{5, 2} representa a fórmula das combinações simples:

Substituindo na fórmula

Preste atenção nesta próxima propriedade das combinações.

Propriedade importante das combinações:

De modo geral temos que:

C_{n, p} = C_{n, n-p}

Confirme esta propriedade utilizando o software Mathsys.
Observação: Siga os mesmos conselhos dados na observação anterior

Existem notações diferentes para combinações simples. Vamos usar uma em particular, pois será muito importante nos familiarizar-mos com ela.

Veja que:

Veja que, a frase “Vários caminhos levam a Roma” , se encaixa bem nesta parte do texto, pois.

Vamos ver alguns exemplos.

Exercícios resolvidos – Número binomial de ordem n e classe p.

1º - Vamos calcular o valor de:

5º - No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um baralho de 40 cartas(são excluídas as cartas 8, 9 , 10).

De quantas maneiras diferentes um jogador pode receber suas 3 cartas

As 3 cartas diferem entre si pela natureza delas, e não pela ordem. Como a ordem não importa, calculamos?

Portanto, cada jogador pode receber suas 3 cartas de 9880 maneiras diferentes.

Faça estes exercícios com as outras notações. Lembre que, matemática só se aprende praticando muito.

Por enquanto é isso. Ficamos por aqui, mas em breve serão disponibilizados exercícios e mais alguns conceitos e curiosidades sobre este conteúdo.

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MATEMÁTICA NA VEIA - ANÁLISE COMBINATÓRIA - COMBINAÇÕES SIMPLES

Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!

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Observação:
- Após terminar seus downloads, passe um antivírus antes de abrir seu arquivo.
- Crie um ponto de restauração no Windows, antes de instalar qualquer programa,ou arquivo .

VII) BIBLIOGRAFIA:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática Dante Volume único, São Paulo, 1º edição, Ática, 2009.

DANTE,P.J. & HERSH, R. A experiência matemática, Rio de Janeiro, Francisco Alves, Ática, 1997.

BEZERRA, Manoel Filho. Matemática para o ensino médio, Volume único, Manoel Jairo Bezerra. São Paulo, Scipione (Série parâmetros). 2004, 5º Edição.
Matemática - vol 3, 2º grau aula 52. TIZZIOTTI,

Adaptações e imagem - camisa
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